123 Докажите, что если две плоскости а и в перпендикулярны к прямой а, то они параллельны. Решение Проведем какую-нибудь прямую, параллельную прямой а, так, чтобы она пересекала плоскости а и в в различных точках А и В. По первой теореме п. 16 плоскости а и в перпендикулярны к прямой АВ. Если допустить, что плоскости а и в не параллельны, т. е. имеют хотя бы одну общую точку М, то получим треугольник АВМ с дву- мя прямыми углами при вершинах А и В, что невозможно. Следо- вательно, а || β.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости α и β, перпендикулярные к прямой a.

Проведём прямую, параллельную прямой a. Эта прямая пересекает плоскости α и β в точках A и B соответственно.

По теореме, если плоскость перпендикулярна прямой, то любая прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через точку пересечения плоскости и прямой, перпендикулярна данной прямой. Таким образом, плоскости α и β перпендикулярны прямой AB.

Предположим, что плоскости α и β не параллельны, то есть имеют общую точку M. В этом случае образуется треугольник ABM с двумя прямыми углами при вершинах A и B. Однако треугольник не может иметь два прямых угла, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Следовательно, предположение о том, что плоскости α и β не параллельны, неверно.

Ответ: α || β.