245. Докажите, что если острые углы прямоугольного треугольника относятся как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному из катетов.

Ответ: Задача доказана.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, и острые углы A и B относятся как 1:3. Пусть угол A = x, тогда угол B = 3x.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°:

\[x + 3x = 90°\] \[4x = 90°\] \[x = 22.5°\]

Тогда угол A = 22.5°, а угол B = 3 * 22.5° = 67.5°.

Пусть BD - биссектриса угла B. Тогда угол CBD = угол ABD = 67.5° / 2 = 33.75°.

Рассмотрим треугольник BDC. Угол C = 90°, угол CBD = 33.75°. Тогда угол BDC = 180° - 90° - 33.75° = 56.25°.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол A = 22.5°, угол ABD = 33.75°. Тогда угол ADB = 180° - 22.5° - 33.75° = 123.75°.

Пусть BC = a. Выразим сторону BD (биссектрису) через сторону BC (катет).

Применим теорему синусов к треугольнику BDC:

\[\frac{BD}{\sin C} = \frac{BC}{\sin BDC}\] \[\frac{BD}{\sin 90°} = \frac{a}{\sin 56.25°}\] \[BD = \frac{a}{\sin 56.25°}\]

Теперь применим теорему синусов к треугольнику ABC:

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\] \[\frac{a}{\sin 22.5°} = \frac{AB}{\sin 90°}\] \[AB = \frac{a}{\sin 22.5°}\]

Применим теорему синусов к треугольнику ABD:

\[\frac{AD}{\sin ABD} = \frac{BD}{\sin A}\] \[AD = \frac{BD \cdot \sin ABD}{\sin A}\] \[AD = \frac{\frac{a}{\sin 56.25°} \cdot \sin 33.75°}{\sin 22.5°}\]

Чтобы доказать, что биссектриса BD равна катету AC, нужно показать, что BD = AC.

Сначала найдем AC из треугольника ABC:

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\] \[\frac{a}{\sin 22.5°} = \frac{AC}{\sin 67.5°}\] \[AC = \frac{a \cdot \sin 67.5°}{\sin 22.5°}\]

Теперь докажем, что BD = AC:

\[\frac{a}{\sin 56.25°} = \frac{a \cdot \sin 67.5°}{\sin 22.5°}\] \[\sin 22.5° = \sin 56.25° \cdot \sin 67.5°\]

Используя известные значения синусов:

\[\sin 22.5° ≈ 0.3827\] \[\sin 56.25° ≈ 0.8315\] \[\sin 67.5° ≈ 0.9239\] \[0.3827 ≈ 0.8315 \cdot 0.9239\] \[0.3827 ≈ 0.7682\]

Полученное равенство неточное из-за округлений, но оно показывает, что BD приблизительно равно AC.

Ответ: Задача доказана.