5. Докажите, что если сумма первых п членов последователь- ности задается формулой S=3n²+5n, nEN, то эта после- довательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией.

Решение:

• Шаг 1: Находим выражение для n-го члена последовательности: aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ aₙ = (3n² + 5n) - (3(n-1)² + 5(n-1)) aₙ = 3n² + 5n - (3(n² - 2n + 1) + 5n - 5) aₙ = 3n² + 5n - (3n² - 6n + 3 + 5n - 5) aₙ = 3n² + 5n - 3n² + 6n - 3 - 5n + 5 aₙ = 6n + 2
• Шаг 2: Находим выражение для (n+1)-го члена последовательности: aₙ₊₁ = 6(n + 1) + 2 aₙ₊₁ = 6n + 6 + 2 aₙ₊₁ = 6n + 8
• Шаг 3: Находим разность между (n+1)-м и n-м членами: d = aₙ₊₁ - aₙ d = (6n + 8) - (6n + 2) d = 6n + 8 - 6n - 2 d = 6
• Шаг 4: Так как разность между соседними членами (d = 6) является константой, то последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией.