Докажите, что если точка С – внутренняя точка относительно окружности, не лежащая на её диаметре АВ, то угол АСВ тупой.

Пусть О - центр окружности. 1. Если точка C лежит внутри окружности, то углы \(\angle OAC\) и \(\angle OBC\) острые (так как опираются на хорду). 2. Рассмотрим треугольник \(\triangle AOC\). Так как \(\angle OAC\) острый, то \(\angle OCA\) и \(\angle AOC\) могут быть острыми или прямыми, но не тупыми. 3. Аналогично, рассмотрим треугольник \(\triangle BOC\). Так как \(\angle OBC\) острый, то \(\angle OCB\) и \(\angle BOC\) могут быть острыми или прямыми, но не тупыми. 4. \(\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB\). Поскольку \(\angle OCA\) и \(\angle OCB\) не могут быть одновременно острыми, \(\angle ACB\) должен быть тупым.