Докажите, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть дан четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и BC = AD. Докажем, что ABCD — параллелограмм.

Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них AC — общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC. Углы ∠BAC и ∠DCA являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC. Т.к. эти углы равны, то AB || CD. Аналогично, углы ∠BCA и ∠DAC — накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC. Т.к. они равны, то BC || AD.

Итак, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD и BC || AD). Значит, по определению, четырехугольник ABCD — параллелограмм.