Докажите, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Ответ: доказано.

• Пусть в четырехугольнике ABCD ∠A + ∠C = 180°.
• Проведём окружность через три вершины четырехугольника: A, B и D.
• Докажем, что она проходит также через вершину C, то есть является описанной около четырехугольника ABCD.
• Предположим, что это не так. Тогда вершина C лежит либо внутри круга, либо вне его.
• Рассмотрим первый случай, когда C лежит внутри круга:
  • ∠C = 1/2 (DAB + EF).
  • Следовательно, ∠C > 1/2 ∠DAB.
  • Так как ∠A = 1/2 ∠BED, то ∠A + ∠C > 1/2 (BED + DAB) = 1/2 · 360° = 180°.
  • Итак, мы получили, что ∠A + ∠C > 180°. Но это противоречит условию ∠A + ∠C = 180°.
  • Значит, наше предположение о том, что вершина C лежит внутри круга, неверно.
• Следовательно, вершина C лежит на окружности.

Ответ: доказано.