Докажите, что если векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, то: а) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) не коллинеарны; б) векторы \(2\vec a-\vec b\) и \(\vec a+\vec b\) не коллинеарны; в) векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a+3\vec b\) не коллинеарны.

Так как \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, равенство \(x\vec a+y\vec b=\vec 0\) возможно только при \(x=0\) и \(y=0\).

а) Предположим, что векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) коллинеарны. Тогда существуют числа \(\alpha\) и \(\beta\), не равные одновременно нулю, такие что

\[\alpha(\vec a+\vec b)+\beta(\vec a-\vec b)=\vec 0.\]

После раскрытия скобок:

\[(\alpha+\beta)\vec a+(\alpha-\beta)\vec b=\vec 0.\]

Отсюда \(\alpha+\beta=0\) и \(\alpha-\beta=0\). Следовательно, \(\alpha=\beta=0\), что противоречит предположению. Значит, векторы не коллинеарны.

б) Предположим, что векторы \(2\vec a-\vec b\) и \(\vec a+\vec b\) коллинеарны. Тогда

\[\alpha(2\vec a-\vec b)+\beta(\vec a+\vec b)=\vec 0.\]

Раскрывая скобки, получаем:

\[(2\alpha+\beta)\vec a+(-\alpha+\beta)\vec b=\vec 0.\]

По неколлинеарности \(\vec a\) и \(\vec b\):

\[2\alpha+\beta=0,\qquad -\alpha+\beta=0.\]

Из второго равенства \(\beta=\alpha\), тогда из первого \(3\alpha=0\), то есть \(\alpha=\beta=0\). Получили противоречие. Следовательно, векторы не коллинеарны.

в) Предположим, что векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a+3\vec b\) коллинеарны. Тогда

\[\alpha(\vec a+\vec b)+\beta(\vec a+3\vec b)=\vec 0.\]

После раскрытия скобок:

\[(\alpha+\beta)\vec a+(\alpha+3\beta)\vec b=\vec 0.\]

Значит, \(\alpha+\beta=0\) и \(\alpha+3\beta=0\). Вычитая первое равенство из второго, получаем \(2\beta=0\), поэтому \(\beta=0\), а затем \(\alpha=0\). Это противоречие.

Ответ: во всех трёх случаях полученные пары векторов неколлинеарны.