Докажите, что если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то этот угол — острый.

Пусть вершина угла находится вне окружности, а его стороны пересекают окружность и образуют угол, опирающийся на диаметр. Обозначим концы диаметра через \(A\) и \(B\), а вершину угла — через \(C\). Тогда \(AB\) — диаметр окружности.

Соединим центр окружности \(O\) с точками \(A\), \(B\) и \(C\). Угол \(ACB\) является внешним углом треугольника, образованного секущими. Внешний угол равен половине разности дуг, на которые он опирается:

\[\angle ACB=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AB}_{\text{большая}}-\overset{\frown}{AB}_{\text{малая}}\right).\]

Большая дуга меньше полного круга, а малая дуга имеет положительную величину, поэтому разность этих дуг меньше \(180^\circ\). Следовательно,

\[\angle ACB<\frac{1}{2}\cdot180^\circ=90^\circ.\]

Кроме того, угол положителен, поэтому \(0^\circ<\angle ACB<90^\circ\).

Ответ: угол острый.