175. Докажите, что если все рёбра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

Для доказательства равенства двугранных углов тетраэдра, у которого все рёбра равны, можно использовать следующее рассуждение:

1. Рассмотрим тетраэдр ABCD, у которого все рёбра равны a.
2. Все грани тетраэдра являются правильными треугольниками.
3. Рассмотрим двугранный угол при ребре AB. Отметим середины рёбер AB (точка M) и CD (точка N).
4. Проведём отрезки CM и DM. Так как грани правильные треугольники, CM и DM являются медианами, высотами и биссектрисами этих треугольников. Следовательно, CM = DM.
5. Треугольник CMD равнобедренный, и MN - его высота и медиана, следовательно, MN перпендикулярна CD.
6. Угол CMD является линейным углом двугранного угла при ребре CD.
7. Все двугранные углы в правильном тетраэдре равны между собой, так как все грани равны, и все рёбра равны.

Теперь найдем величину этих углов.

1. Пусть ребро тетраэдра равно a. Рассмотрим треугольник CMD, где CM = DM = $$ \frac{a \sqrt{3}}{2} $$.
2. Пусть O - основание высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC. Тогда AO является медианой, биссектрисой и высотой правильного треугольника ABC.
3. AO = $$\frac{a \sqrt{3}}{2}$$. DO перпендикулярна плоскости ABC, значит, DO перпендикулярна AO и CO.
4. Треугольник DOC - прямоугольный. DO можно найти из теоремы Пифагора для треугольника DOC: DC^2 = DO^2 + OC^2.
5. OC = $$\frac{2}{3}$$ AO = $$\frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$$.
6. a^2 = DO^2 + $$\frac{3a^2}{9}$$. Следовательно, DO^2 = $$\frac{6a^2}{9}$$, DO = $$\frac{a \sqrt{6}}{3}$$.
7. Рассмотрим треугольник ADO. AO = $$\frac{a \sqrt{3}}{2}$$, DO = $$\frac{a \sqrt{6}}{3}$$, AD = a.
8. Косинус угла между плоскостью ADC и плоскостью ABC равен отношению OC к DC, то есть $$\cos \phi = \frac{OC}{DC} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
9. Следовательно, $$\phi = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$$. Это примерно 70.53°.

Ответ: Двугранные углы тетраэдра равны и составляют $$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$$