8. Докажите, что функция f (x) = cos 3x - 6х является убывающей на всей области определения.

Привет! Разбираемся с заданием:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции f(x) = cos 3x - 6x.

• Производная cos 3x равна -3sin 3x (используем правило цепочки).
• Производная -6x равна -6.

Значит, f'(x) = -3sin 3x - 6.

2. Шаг 2: Анализируем знак производной.

• Значение sin 3x всегда находится в диапазоне от -1 до 1, то есть \( -1 \le sin 3x \le 1 \).
• Следовательно, \( -3 \le -3sin 3x \le 3 \).
• Тогда \( -3sin 3x - 6 \) будет всегда меньше или равно \( 3 - 6 = -3 \), то есть \( -3sin 3x - 6 \le -3 \).

Таким образом, производная f'(x) всегда отрицательна.

3. Шаг 3: Заключение.

Так как производная f'(x) = -3sin 3x - 6 всегда отрицательна, функция f(x) = cos 3x - 6x является убывающей на всей области определения.

Ответ: Функция f(x) = cos 3x - 6x является убывающей на всей области определения, так как её производная всегда отрицательна.