Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x): 020.4. a) F(x) = cos (4x - \frac{π}{9}) + 26, f(x) = -4sin (4x - \frac{π}{9}); 6) F(x) = sin³ x 3, f(x) = 3 sin² x cos x; B) F(x) = √x² + 3x - \frac{6}{x}, f(x) = \frac{2x + 3}{2√x² + 3x} + \frac{6}{x²}; г) F(x) = √5x4 + 9x² + √x, f(x) = \frac{10x³ + 9x}{√5x4 + 9x²} + \frac{1}{2√x}.

a) F(x) = cos(4x - \frac{\pi}{9}) + 26, f(x) = -4sin(4x - \frac{\pi}{9})

• Шаг 1: Находим производную F(x).
• Шаг 2: \(F'(x) = (cos(4x - \frac{\pi}{9}) + 26)' = -sin(4x - \frac{\pi}{9}) \cdot (4x - \frac{\pi}{9})' + 0 = -sin(4x - \frac{\pi}{9}) \cdot 4 = -4sin(4x - \frac{\pi}{9})\)
• Шаг 3: Сравниваем F'(x) с f(x).
• Шаг 4: Так как \(F'(x) = -4sin(4x - \frac{\pi}{9}) = f(x)\), то F(x) является первообразной для f(x).

б) F(x) = sin³ x - 3, f(x) = 3 sin² x cos x

• Шаг 1: Находим производную F(x).
• Шаг 2: \(F'(x) = (sin^3 x - 3)' = 3sin^2 x \cdot (sin x)' - 0 = 3sin^2 x cos x\)
• Шаг 3: Сравниваем F'(x) с f(x).
• Шаг 4: Так как \(F'(x) = 3sin^2 x cos x = f(x)\), то F(x) является первообразной для f(x).

в) F(x) = \sqrt{x^2 + 3x} - \frac{6}{x}, f(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \frac{6}{x^2}

• Шаг 1: Находим производную F(x).
• Шаг 2: \(F'(x) = (\sqrt{x^2 + 3x} - \frac{6}{x})' = (\sqrt{x^2 + 3x})' - (\frac{6}{x})'\)
• Шаг 3: \((\sqrt{x^2 + 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \cdot (x^2 + 3x)' = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}}\)
• Шаг 4: \((\frac{6}{x})' = -\frac{6}{x^2}\)
• Шаг 5: \(F'(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} - (-\frac{6}{x^2}) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \frac{6}{x^2}\)
• Шаг 6: Сравниваем F'(x) с f(x).
• Шаг 7: Так как \(F'(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \frac{6}{x^2} = f(x)\), то F(x) является первообразной для f(x).

г) F(x) = \sqrt{5x^4 + 9x^2} + \sqrt{x}, f(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}

• Шаг 1: Находим производную F(x).
• Шаг 2: \(F'(x) = (\sqrt{5x^4 + 9x^2} + \sqrt{x})' = (\sqrt{5x^4 + 9x^2})' + (\sqrt{x})'\)
• Шаг 3: \((\sqrt{5x^4 + 9x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{5x^4 + 9x^2}} \cdot (5x^4 + 9x^2)' = \frac{20x^3 + 18x}{2\sqrt{5x^4 + 9x^2}} = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}}\)
• Шаг 4: \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
• Шаг 5: \(F'(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
• Шаг 6: Сравниваем F'(x) с f(x).
• Шаг 7: Так как \(F'(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = f(x)\), то F(x) является первообразной для f(x).