3 Докажите, что любая диа- гональ четырехугольника меньше половины его пери- метра. СА-14. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ Вариант А1 1 Высота прямоугольного тре- угольника делит прямой угол на два угла, один из которых в 5 раз больше дру- гого. Найдите острые углы данного треугольника. 2

Решение:

• Шаг 1: Пусть один из углов, образованных высотой, равен \( x \), тогда другой угол равен \( 5x \). Поскольку вместе они составляют прямой угол, имеем уравнение: \[ x + 5x = 90^{\circ} \]
• Шаг 2: Решаем уравнение: \[ 6x = 90^{\circ} \] \[ x = \frac{90^{\circ}}{6} = 15^{\circ} \] Таким образом, один угол равен \( 15^{\circ} \), а другой \( 5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ} \).
• Шаг 3: Рассмотрим исходный прямоугольный треугольник. Один из его углов прямой (\( 90^{\circ} \)). Пусть один из острых углов равен \( y \). Тогда, поскольку сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), имеем: \[ 90^{\circ} + y + 15^{\circ} = 180^{\circ} \]
• Шаг 4: Решаем уравнение для \( y \): \[ y = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \] Таким образом, один из острых углов равен \( 75^{\circ} \), а другой острый угол равен \( 15^{\circ} \).

Ответ: Острые углы данного треугольника: \( 15^{\circ} \) и \( 75^{\circ} \).