7. Докажите, что любая трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD, вписанная в окружность. Так как трапеция вписана в окружность, то сумма её противоположных углов равна 180°. Следовательно, ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Предположим, что трапеция равнобедренная, то есть AB = CD. Тогда ∠A = ∠D и ∠B = ∠C. Из равенства сумм противоположных углов ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180° следует, что 2∠A = 2∠D = 180° и 2∠B = 2∠C = 180°. Отсюда ∠A = ∠D = 90° и ∠B = ∠C = 90°. Таким образом, трапеция ABCD - прямоугольник.

Если же трапеция не равнобедренная, то ∠A ≠ ∠D и ∠B ≠ ∠C. Но так как ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°, то ∠A и ∠D не могут быть оба больше 90° или оба меньше 90°. Аналогично, ∠B и ∠C не могут быть оба больше 90° или оба меньше 90°.

Таким образом, если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная, так как только в этом случае суммы противоположных углов могут быть равны 180°.