Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Проведём медиану CM к гипотенузе AB.
2. Построим окружность с центром в точке M и радиусом, равным AM (и, следовательно, BM, так как M — середина AB).
3. Так как AM = BM = CM (по построению, радиус окружности), точки A, B и C лежат на окружности с центром M.
4. Угол ACB вписан в окружность и опирается на диаметр AB (так как M — центр окружности и середина AB). Следовательно, \( \angle ACB = 90^{\circ} \), что соответствует условию задачи.
5. Так как CM — радиус окружности, а AB — её диаметр, то CM = \( \frac{1}{2} \) AB.
6. Таким образом, медиана CM равна половине гипотенузы AB.

Что и требовалось доказать.