1088*. Докажите, что многочлен принимает лишь неотри- цательные значения: a) x²-2xy+y² + a²; 6) 4x²+a²-4x+1; в) 962-66+4c²+1; r) a²+2ab+26²+26+1; д) х²-4хуу²+x²y²+1; e) x²+y²+2x+6y+10.

Краткое пояснение:

Разберем каждый случай:

a) x²-2xy+y² + a²

Смотри, тут всё просто: первые три члена можно свернуть в квадрат разности:

x²-2xy+y² = (x-y)²

Тогда выражение примет вид:

(x-y)² + a²

Квадрат любого числа всегда неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел тоже неотрицательна. Значит, выражение всегда принимает неотрицательные значения.

б) 4x²+a²-4x+1

Логика такая: сгруппируем члены с x:

4x²-4x+1 + a²

Первые три члена - это полный квадрат:

(2x-1)² + a²

Сумма двух неотрицательных чисел, а значит, выражение всегда принимает неотрицательные значения.

в) 9b²-6b+4c²+1

Разбираемся: сгруппируем члены с b:

9b²-6b+1 + 4c²

Первые три члена - это полный квадрат:

(3b-1)² + 4c²

(3b-1)² + (2c)²

Сумма двух неотрицательных чисел, а значит, выражение всегда принимает неотрицательные значения.

г) a²+2ab+2b²+2b+1

Преобразуем выражение:

a²+2ab+b² + b²+2b+1

Первые три члена и последние три члена - это полные квадраты:

(a+b)² + (b+1)²

Сумма двух неотрицательных чисел, а значит, выражение всегда принимает неотрицательные значения.

д) x²-4xy+y²+x²y²+1

Тут немного сложнее, но мы справимся. Выделим полный квадрат:

x²-4xy+4y² -3y² +x²y²+1

(x-2y)² +x²y²-3y²+1

Преобразуем последние три слагаемых:

(x-2y)² + y²(x²-3)+1

Тут не все так очевидно, как в предыдущих примерах. Выражение может быть и отрицательным при некоторых значениях x и y (например, при x=0 и y=1). Поэтому мы не можем утверждать, что оно всегда неотрицательно.

е) x²+y²+2x+6y+10

Снова выделяем полные квадраты:

x²+2x+1 + y²+6y+9

Добавили 1 и 9, чтобы получить полные квадраты. Это в сумме 10, что у нас и было:

(x+1)² + (y+3)²

Сумма двух неотрицательных чисел, а значит, выражение всегда принимает неотрицательные значения.