7. Докажите, что многочлен x² – 4x + y² – 6y + 15 при любых значениях входящих в него переменных принимает положи- тельные значения.

Давай докажем, что многочлен \( x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15 \) принимает положительные значения при любых значениях переменных x и y. 1. Преобразуем выражение, выделив полные квадраты: Начнем с группировки членов, содержащих \( x \) и \( y \): \[ x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15 = (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) + 15 \] Чтобы выделить полные квадраты, добавим и вычтем нужные числа: \[ (x^2 - 4x + 4 - 4) + (y^2 - 6y + 9 - 9) + 15 \] \[ (x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 15 \] Теперь запишем полные квадраты: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 - 9 + 15 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \] 2. Анализ полученного выражения: Мы получили выражение \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \). Заметим, что: * \( (x - 2)^2 \) всегда неотрицательно, так как это квадрат действительного числа. * \( (y - 3)^2 \) также всегда неотрицательно, так как это квадрат действительного числа. Следовательно, сумма \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \) также неотрицательна. Таким образом, \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \) всегда больше или равна 2, то есть всегда положительна. Минимальное значение выражения достигается при \( x = 2 \) и \( y = 3 \), и это значение равно 2.

Ответ: Многочлен x² – 4x + y² – 6y + 15 принимает положительные значения при любых значениях переменных x и y, так как он может быть преобразован в (x - 2)² + (y - 3)² + 2, что всегда больше или равно 2.

Прекрасно! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!