Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим множество всех точек плоскости, которые находятся на фиксированном расстоянии \(d\) от данной прямой \(l\). Введём координатную систему, выбрав прямую \(l\) как ось \(x\)-координат. Тогда уравнение прямой \(l\) можно записать как \(y = 0\). Множество точек, находящихся на расстоянии \(d\) от \(l\), определяется уравнением \(|y| = d\). Для случая точек, лежащих по одну сторону от \(l\), уравнение принимает вид \(y = d\) или \(y = -d\) в зависимости от стороны. В данном случае все такие точки образуют прямую \(y = d\), которая параллельна \(l\). Следовательно, доказано, что множество всех точек, обладающих указанными свойствами, образует прямую, параллельную данным прямой \(l\).