1122 Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим рисунок к задаче.

Пусть R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Докажем, что $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$, или $$BC = 2R \sin A$$.

Проведём диаметр BA₁ (рис. 333) и рассмотрим треугольник A₁BC (случай, когда точки A₁ и C совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол C этого треугольника прямой, поэтому $$BC = BA_1 \cdot \sin A_1$$. Но $$\sin A_1 = \sin A$$.

Действительно, если точка A₁ лежит на дуге BAC (рис. 333, а), то $$\angle A_1=\angle A$$, а если на дуге BDC (рис. 333, б), то $$\angle A_1 = 180° - \angle A$$.

И в том, и в другом случае $$\sin A_1 = \sin A$$.

Следовательно, $$BC = BA_1 \cdot \sin A$$, или $$BC = 2R \sin A$$.

Ответ: доказано.