9. Докажите, что отрезок, который соединяет середины двух противоположных сторон параллелограмма, равен одной из его сторон.

Пусть ABCD - данный параллелограмм, где M и N - середины сторон AB и CD соответственно.

Соединим точки M и N. Нужно доказать, что отрезок MN равен одной из сторон параллелограмма.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и AB || CD. Поскольку M и N - середины сторон AB и CD, то AM = MB = $$ \frac{1}{2} $$AB и CN = ND = $$ \frac{1}{2} $$CD. Следовательно, AM = CN и MB = ND.

Рассмотрим четырехугольник AMND. В нем AM = ND и AM || ND (так как AB || CD). Значит, AMND - параллелограмм (по признаку параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому MN = AD. Так как ABCD - параллелограмм, то AD = BC.

Следовательно, MN = AD = BC, что и требовалось доказать.