Докажите, что параллелограмм является прямоугольником, если его диагонали равны.

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором диагонали AC и BD равны. Рассмотрим треугольники ABC и BAD.

1. AB — общая сторона.
2. BC = AD, поскольку противоположные стороны параллелограмма равны.
3. AC = BD по условию.
4. Значит, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам. Следовательно, ∠ABC = ∠BAD.
5. Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°. Равные углы с такой суммой равны по 90°.

У параллелограмма один угол прямой, следовательно, все его углы прямые, и он является прямоугольником.