138. Докажите, что при любом натуральном n значения выражения: 1) (5n + 9)² - 16 делится нацело на 5; 2) (7n + 10)² - (п – 2)2 делится нацело на 8.

Ответ: Выражение 1) (5n + 9)² - 16 делится нацело на 5, выражение 2) (7n + 10)² - (n – 2)² делится нацело на 8.

1) Докажем, что (5n + 9)² - 16 делится нацело на 5:

• Раскрываем скобки: \[(5n + 9)^2 - 16 = 25n^2 + 90n + 81 - 16 = 25n^2 + 90n + 65\]
• Выносим 5 за скобки: \[5(5n^2 + 18n + 13)\]
• Так как выражение в скобках умножается на 5, то оно делится нацело на 5.

2) Докажем, что (7n + 10)² - (n – 2)² делится нацело на 8:

• Раскрываем скобки: \[(7n + 10)^2 - (n - 2)^2 = (49n^2 + 140n + 100) - (n^2 - 4n + 4) = 48n^2 + 144n + 96\]
• Выносим 8 за скобки: \[8(6n^2 + 18n + 12)\]
• Так как выражение в скобках умножается на 8, то оно делится нацело на 8.

Ответ: Выражение 1) (5n + 9)² - 16 делится нацело на 5, выражение 2) (7n + 10)² - (n – 2)² делится нацело на 8.