31. Докажите, что при любом натуральном п сумма \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + ... + \frac{1}{n(n+1)} может быть вычислена по формуле S = \frac{n}{n+1}. Для тех, кто хочет знат

Ответ: Доказано, что при любом натуральном n сумма может быть вычислена по формуле S = \frac{n}{n+1}

Шаг 1: База индукции

Проверяем формулу при n = 1:

\[S_1 = \frac{1}{1 \cdot (1+1)} = \frac{1}{2}\]\[\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\]

Формула верна для n = 1.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что формула верна для некоторого натурального k, то есть:

\[S_k = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}\]

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что формула верна для n = k + 1. Рассмотрим сумму S_{k+1}:

\[S_{k+1} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}\]

Используя индукционное предположение, можно записать:

\[S_{k+1} = \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[S_{k+1} = \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)}\]

Заметим, что числитель является полным квадратом:

\[S_{k+1} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\]

Сократим дробь:

\[S_{k+1} = \frac{k+1}{k+2}\]

Таким образом, формула верна для n = k + 1.

Вывод:

На основании принципа математической индукции, формула верна для любого натурального n.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном n сумма может быть вычислена по формуле S = \frac{n}{n+1}