Докажите, что при любых х выражение всегда больше 0 x² + 6x + 31 > 0

Выделим полный квадрат из выражения:

x² + 6x + 31 = (x² + 6x + 9) + 22 = (x + 3)² + 22

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, (x + 3)² ≥ 0. Следовательно, (x + 3)² + 22 ≥ 22. Таким образом, выражение x² + 6x + 31 всегда больше 0.

Доказано.