Докажите, что при любых х выражение всегда больше 0 x² + 6x + 31 > 0

Доказательство:

Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен \( x^2 + 6x + 31 \) всегда больше 0, найдём его дискриминант и проанализируем старший коэффициент.

1. Старший коэффициент: Коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.
2. Дискриминант: Дискриминант квадратного трёхчлена \( ax^2 + bx + c \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 31 \).
   \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 36 - 124 = -88 \]
3. Анализ: Так как дискриминант \( D = -88 \) отрицательный (меньше 0), а старший коэффициент положительный (больше 0), то квадратный трёхчлен \( x^2 + 6x + 31 \) не имеет действительных корней и всегда принимает положительные значения.

Вывод: Следовательно, выражение \( x^2 + 6x + 31 \) всегда больше 0 при любых значениях \( x \).

Ответ: Доказано.