Докажите, что при любых х выражение x²+8x+25 > 0 всегда больше 0

Пошаговое решение:

1. Выделим полный квадрат из выражения \(x^2 + 8x + 25\). Представим выражение в виде \((x + a)^2 + b\), где \(a\) и \(b\) — некоторые числа.
2. Разложим квадрат суммы: \((x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\). Сравним это с исходным выражением: \(x^2 + 8x + 25\). Видим, что \(2a = 8\), значит, \(a = 4\).
3. Тогда \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\). Теперь запишем исходное выражение как: \(x^2 + 8x + 25 = (x + 4)^2 + 9\).
4. Так как \((x + 4)^2\) всегда больше или равно 0 (квадрат любого числа неотрицателен), и к нему прибавляется 9, то все выражение \((x + 4)^2 + 9\) всегда больше 0.

Ответ: Выражение x²+8x+25 всегда больше 0 при любых значениях x, так как оно равно (x+4)²+9, а квадрат любого числа неотрицателен, и к нему прибавляется положительное число 9.