5. Докажите, что при любых натуральных значениях n значение выражения n³ + 3n² - n - 3 кратно 3.

Доказательство:

• Сгруппируем члены выражения:
  • \(n^3 + 3n^2 - n - 3 = n^2(n + 3) - (n + 3)\)
• Вынесем общий множитель (n + 3) за скобки:
  • \((n + 3)(n^2 - 1)\)
• Разложим \(n^2 - 1\) как разность квадратов:
  • \((n + 3)(n - 1)(n + 1)\)
• Теперь выражение имеет вид:
  • \((n - 1)(n + 1)(n + 3)\)

Заметим, что среди трех последовательных чисел \((n - 1), n, (n + 1)\) одно обязательно делится на 3, если n - нечетное. Если n = 2k, выражение \((2k - 1)(2k + 1)(2k + 3)\). Если n = 3k, то \((3k - 1)(3k + 1)(3k + 3)\). Если n = 3k + 1, то \((3k)(3k + 2)(3k + 4)\). Если n = 3k + 2, то \((3k + 1)(3k + 3)(3k + 5)\) и второй множитель делится на 3. Соответственно, если один из множителей делится на 3, то и все произведение делится на 3.

Таким образом, выражение \(n^3 + 3n^2 - n - 3\) кратно 3 при любых натуральных n.