Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Давай докажем эти утверждения. a) Прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. Представь себе прямую *l*, которая не проходит через центр симметрии *O*. Возьмем две произвольные точки *A* и *B* на этой прямой. При центральной симметрии относительно точки *O*, точка *A* перейдет в точку *A'*, а точка *B* перейдет в точку *B'*. При этом *OA* = *OA'* и *OB* = *OB'*, а точки *A'*, *B'* будут лежать на прямой *l'*, которая является образом прямой *l* при центральной симметрии. Четырехугольник *ABA'B'* – параллелограмм, так как его диагонали *AA'* и *BB'* делятся точкой *O* пополам. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, *AB* || *A'B'*. Так как *AB* лежит на прямой *l*, а *A'B'* лежит на прямой *l'*, то прямые *l* и *l'* параллельны. Таким образом, прямая *l* отображается на параллельную ей прямую *l'*. б) Прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. Пусть прямая *m* проходит через центр симметрии *O*. Возьмем любую точку *C* на прямой *m*, отличную от *O*. При центральной симметрии относительно точки *O*, точка *C* перейдет в точку *C'*, такую что *OC* = *OC'* и точка *C'* также лежит на прямой *m*. Таким образом, любая точка прямой *m* при центральной симметрии переходит в другую точку, лежащую на этой же прямой. Это означает, что прямая *m* отображается сама на себя. Вывод: Мы доказали, что при центральной симметрии плоскости прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую, а прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.