Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения \(\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right)^2:\frac{a^4}{a^2-2a+1}\) не зависит от значения переменной.

ОДЗ: \(a\ne1\), поскольку \(a^2-2a+1=(a-1)^2\) стоит в знаменателе; также \(a\ne0\), поскольку на дробь \(\frac{a^4}{(a-1)^2}\) делить нельзя, если она равна нулю.

1. Преобразуем выражение в скобках: \(a+1+\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)(a-1)+1}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}\).

2. Тогда его квадрат равен \(\left(\frac{a^2}{a-1}\right)^2=\frac{a^4}{(a-1)^2}\).

3. Так как \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), всё выражение равно \(\frac{a^4}{(a-1)^2}:\frac{a^4}{(a-1)^2}=1\). Равенство верно для всех значений из ОДЗ.

Следовательно, выражение не зависит от значения переменной: при всех допустимых \(a\) оно равно 1.