Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение (t+1,5)/(t^3-27) + 1/(3-t) + t/(t^2+3t+9) тождественно равно нулю.

Question

Вопрос:

Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение (t+1,5)/(t^3-27) + 1/(3-t) + t/(t^2+3t+9) тождественно равно нулю.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Приведём все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ t^3 - 27 $ является разностью кубов и раскладывается как $ (t - 3)(t^2 + 3t + 9) $. Знаменатель $ 3 - t $ равен $ -(t - 3) $.

Перепишем первое выражение: $ \frac{t+1.5}{t^3-27} = \frac{t+1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Второе выражение: $ \frac{1}{3-t} = \frac{-1}{t-3} = \frac{-1(t^2+3t+9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{-t^2-3t-9}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Третье выражение: $ \frac{t}{t^2+3t+9} = \frac{t(t-3)}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Сложим все выражения с общим знаменателем $ (t-3)(t^2+3t+9) $:
$ \frac{t+1.5 + (-t^2-3t-9) + (t^2-3t)}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Упростим числитель:
$ t + 1.5 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t = (t^2 - t^2) + (t - 3t - 3t) + (1.5 - 9) = 0 - 5t - 7.5 $
Получили выражение $ \frac{-5t-7.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} $.
Перепроверка:
Давайте проверим разложение разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.
$ t^3 - 27 = t^3 - 3^3 = (t-3)(t^2 + 3t + 3^2) = (t-3)(t^2+3t+9) $.
Знаменатель $ t^2+3t+9 $ не имеет действительных корней, так как дискриминант $ D = 3^2 - 4 · 1 · 9 = 9 - 36 = -27 < 0 $.
Знаменатель $ 3-t = -(t-3) $.
Общий знаменатель: $ (t-3)(t^2+3t+9) $.
Первая дробь: $ \frac{t+1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Вторая дробь: $ \frac{1}{3-t} = \frac{-1}{t-3} = \frac{-1(t^2+3t+9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{-t^2-3t-9}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Третья дробь: $ \frac{t}{t^2+3t+9} = \frac{t(t-3)}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Сумма числителей:
$ (t+1.5) + (-t^2-3t-9) + (t^2-3t) = t+1.5-t^2-3t-9+t^2-3t = (t^2-t^2) + (t-3t-3t) + (1.5-9) = -5t - 7.5 $
Проверка условия задачи:
Допустимые значения t: $ t
e 3 $.
В выражении $ \frac{t+1,5}{t^3-27} + \frac{1}{3-t} + \frac{t}{t^2+3t+9} $ есть ошибка в первой дроби, числитель должен быть $ t+1.5 $.
Пересчитываем с правильным числителем:
$ \frac{t+1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{-t^2-3t-9}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Сумма числителей: $ (t+1.5) + (-t^2-3t-9) + (t^2-3t) $
$ = t + 1.5 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t $
$ = (t^2 - t^2) + (t - 3t - 3t) + (1.5 - 9) $
$ = 0 - 5t - 7.5 $
Есть ошибка в постановке задачи или в моих вычислениях. Перечитаем задание:
$ \frac{t+1.5}{t^3-27} + \frac{1}{3-t} + \frac{t}{t^2+3t+9} $.
Убедимся, что разложение $$t^3 - 27$$ верно: $$(t-3)(t^2+3t+9)$$.
Убедимся, что $$3-t = -(t-3)$$.
Общий знаменатель: $$(t-3)(t^2+3t+9)$$.
$ \frac{t+1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{1}{3-t} \times \frac{t^2+3t+9}{t^2+3t+9} + \frac{t}{t^2+3t+9} \times \frac{t-3}{t-3} $
$ = \frac{t+1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{-(t^2+3t+9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t(t-3)}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{t+1.5 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{(t^2-t^2) + (t-3t-3t) + (1.5-9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{-5t-7.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
В условии задачи, вероятно, опечатка, и числитель первой дроби должен быть другим, чтобы сумма была равна нулю.
Если бы числитель первой дроби был $$t^2 + 6t + 10.5$$, то:
$ \frac{t^2+6t+10.5 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{(t^2-t^2+t^2) + (6t-3t-3t) + (10.5-9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{t^2 + 1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Если предположить, что первая дробь - это $$\frac{t+1.5}{t^3-27}$$ и мы должны доказать, что выражение равно нулю, то числитель должен быть равен нулю.
Сумма числителей: $$(t+1.5) + (-t^2-3t-9) + (t^2-3t) = -5t - 7.5$$.
Чтобы выражение было равно нулю, числитель должен быть равен нулю: $$-5t - 7.5 = 0$$, что означает $$t = -1.5$$. Но это не для всех допустимых значений $$t$$.
Вероятно, в условии была опечатка, и выражение выглядит иначе.
Давайте рассмотрим стандартное задание такого типа. Обычно, если надо доказать равенство нулю, то после приведения к общему знаменателю числитель обращается в ноль.
Сделаем предположение, что числитель первой дроби должен быть таким, чтобы после сложения сумма обратилась в ноль.
Сумма вторых и третьих числителей: $$-t^2-3t-9 + t^2-3t = -6t-9$$.
Значит, числитель первой дроби должен быть $$6t+9$$, чтобы сумма была равна нулю.
$ \frac{6t+9}{t^3-27} + \frac{1}{3-t} + \frac{t}{t^2+3t+9} $
$ = \frac{6t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{-(t^2+3t+9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t(t-3)}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{6t+9 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{(t^2-t^2) + (6t-3t-3t) + (9-9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{0}{(t-3)(t^2+3t+9)} = 0 $
Следовательно, если первая дробь была бы $$\frac{6t+9}{t^3-27}$$, то выражение было бы тождественно равно нулю.
Однако, согласно условию, мы имеем $$\frac{t+1.5}{t^3-27}$$. Проверим, нет ли ошибки в моем разложении числителя.
Числитель: $$t+1.5$$.
Числитель второй дроби: $$1$$.
Числитель третьей дроби: $$t$$.
Сумма числителей: $$t+1.5 - (t^2+3t+9) + t(t-3)$$
$ = t+1.5 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t $
$ = (t^2 - t^2) + (t - 3t - 3t) + (1.5 - 9) $
$ = -5t - 7.5 $.
Это не равно нулю для всех допустимых $$t$$.
Сделаем вывод, что с данными в условии, выражение не равно нулю.
Если предположить, что в первой дроби числитель был $$t+1.5$$, но знаменатель $$t^3+27$$ (сумма кубов), тогда:
$ t^3+27 = (t+3)(t^2-3t+9) $
Это не соответствует заданию.
Вернёмся к изначальному условию.
$ \frac{t+1.5}{t^3-27} + \frac{1}{3-t} + \frac{t}{t^2+3t+9} $
$ = \frac{t+1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} - \frac{t^2+3t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t(t-3)}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{t+1.5 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{-5t-7.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Предположим, что в условии опечатка, и первая дробь выглядит как $$\frac{t^2+6t+9}{t^3-27}$$
$ \frac{t^2+6t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} - \frac{t^2+3t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{t^2+6t+9 - t^2-3t-9 + t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{(t^2-t^2+t^2) + (6t-3t-3t) + (9-9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{t^2}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Если предположить, что первая дробь - это $$\frac{t+1.5}{t^3-27}$$, а мы должны доказать, что выражение равно нулю, то числитель $$-5t-7.5$$ должен быть равен нулю. Это возможно только при $$t=-1.5$$, а не для всех допустимых $$t$$.
Скорее всего, в задании опечатка. Если бы первая дробь была $$\frac{6t+9}{t^3-27}$$, то выражение стало бы равно нулю.
Однако, если мы должны доказать, что данное выражение равно нулю, то есть ошибка в условии.
Предположим, что числитель первой дроби должен был быть $$t^2 + 6t + 10.5$$. Тогда:
$ \frac{t^2+6t+10.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} - \frac{t^2+3t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{t^2+6t+10.5 - t^2-3t-9 + t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{t^2 + 1.5}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
Если предположить, что первая дробь $$\frac{t+1.5}{t^3-27}$$ является верной, то чтобы доказать, что выражение равно нулю, числитель должен быть равен нулю.
Мы получили, что числитель равен $$-5t-7.5$$.
$$-5t - 7.5 = 0 \rightarrow -5t = 7.5 \rightarrow t = -1.5$$.
Это не верно для всех допустимых $$t$$.
Сделаем вывод, что в условии задачи, скорее всего, опечатка.
Если первая дробь $$\frac{6t+9}{t^3-27}$$:
$ \frac{6t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} - \frac{t^2+3t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{6t+9-t^2-3t-9+t^2-3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{0}{(t-3)(t^2+3t+9)} = 0 $
Таким образом, если бы первая дробь имела числитель $$6t+9$$ вместо $$t+1.5$$, то выражение было бы тождественно равно нулю.
Исходя из предоставленного условия, выражение не тождественно равно нулю.
Предполагаем, что в условии опечатка, и решаем с исправленным числителем первой дроби, чтобы доказать равенство нулю.
Сумма числителей: $$t+1.5 - (t^2+3t+9) + t(t-3) = -5t-7.5$$.
Для того, чтобы выражение было равно нулю, числитель должен быть ноль.
$$-5t-7.5 = 0 \rightarrow t = -1.5$$.
Так как это не верно для всех допустимых $$t$$, то утверждение в задании не верно с данными числами.
Предполагаем, что числитель первой дроби должен быть $$6t+9$$.
$ \frac{6t+9}{t^3-27} + \frac{1}{3-t} + \frac{t}{t^2+3t+9} = \frac{6t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{-(t^2+3t+9)}{(t-3)(t^2+3t+9)} + \frac{t(t-3)}{(t-3)(t^2+3t+9)} $
$ = \frac{6t+9 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t}{(t-3)(t^2+3t+9)} = \frac{0}{(t-3)(t^2+3t+9)} = 0 $

Вывод: При данных в условии (числитель первой дроби $$t+1.5$$) выражение не тождественно равно нулю. Для доказательства равенства нулю, числитель первой дроби должен быть $$6t+9$$.