420 Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и BD - биссектриса, проведенная к основанию AC. Нужно доказать, что BD является осью симметрии треугольника ABC.

1. Т.к. BD - биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠CBD.
2. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
3. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:
   • AB = BC (по условию),
   • ∠ABD = ∠CBD (BD - биссектриса),
   • BD - общая сторона.
4. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что AD = CD и ∠ADB = ∠CDB.
6. Т.к. ∠ADB и ∠CDB - смежные и равны, то ∠ADB = ∠CDB = 90°. Таким образом, BD - высота треугольника ABC.
7. Т.к. BD является и биссектрисой, и высотой, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, то она является и медианой.
8. Таким образом, прямая BD делит треугольник ABC на две равные части, симметричные относительно этой прямой.

Ответ: Прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является его осью симметрии.