Докажите, что прямые: 1) AD и C₁D₁; 2) A₁D и D₁C; 3) AB₁ и D₁C — скрещивающиеся.

Пусть ребра параллелепипеда, выходящие из точки A, задают три независимых направления. Введём координаты: A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1). Тогда C(1; 1; 0), B₁(0; 1; 1), D₁(1; 0; 1), C₁(1; 1; 1). Для доказательства достаточно показать, что каждая пара прямых не параллельна и не пересекается.

1. AD имеет направление (1; 0; 0), а C₁D₁ — направление (0; 1; 0), поэтому прямые не параллельны. Точки прямой AD имеют координаты (t; 0; 0), а точки C₁D₁ — (1; s; 1). Совпадение невозможно: третьи координаты равны 0 и 1. Значит, прямые не пересекаются и являются скрещивающимися.

2. A₁D имеет направление (1; 0; −1), а D₁C — направление (0; 1; −1); эти направления не пропорциональны. Точки A₁D имеют вид (t; 0; 1 − t), а точки D₁C — (1; s; 1 − s). Для совпадения координат потребовались бы одновременно t = 1 и 1 − t = 1, что невозможно. Следовательно, прямые не пересекаются и не параллельны, то есть скрещиваются.

3. AB₁ имеет направление (0; 1; 1), а D₁C — (0; 1; −1), поэтому прямые не параллельны. Все точки AB₁ имеют первую координату 0, а все точки D₁C — первую координату 1; значит, прямые не пересекаются. Следовательно, они скрещиваются.

Точки M и N на рисунке для этих доказательств не используются.