Докажите, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, равен √3a / 6

Доказательство:

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с центром описанной окружности (центроидом, ортоцентром). Он находится на пересечении медиан, биссектрис и высот.

Высота равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле:

• \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

Радиус вписанной окружности (r) равен 1/3 высоты:

• \[ r = \frac{1}{3} h \]
• \[ r = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) \]
• \[ r = \frac{\sqrt{3}}{6} a \]

Что и требовалось доказать.