Докажите, что расстояние между точками А(а) и В(b) на координатной прямой равно [a-bl. Рассмотрите все возможные случаи расположения точек (обе положительные, обе отрицательные, одна положительная, другая отрицательная).

Теоретический вопрос

Расстояние между двумя точками на координатной прямой определяется как модуль разности их координат. То есть, |a - b|, где a и b - координаты точек A и B соответственно.

• Случай 1: Обе точки положительные (a > 0, b > 0)
  • Если a > b, то |a - b| = a - b, что и есть расстояние между точками.
  • Если a < b, то |a - b| = -(a - b) = b - a, что также является расстоянием между точками.
• Случай 2: Обе точки отрицательные (a < 0, b < 0)
  • Если a > b (например, a = -2, b = -5), то |a - b| = |-2 - (-5)| = |-2 + 5| = |3| = 3, что соответствует расстоянию.
  • Если a < b (например, a = -5, b = -2), то |a - b| = |-5 - (-2)| = |-5 + 2| = |-3| = 3, что также соответствует расстоянию.
• Случай 3: Одна точка положительная, другая отрицательная (a > 0, b < 0)
  • В этом случае |a - b| = |a - (-b)| = |a + b| = a + (-b) = a - b, что численно равно сумме расстояний от каждой точки до нуля, и, следовательно, является расстоянием между точками.
• Случай 4: Одна точка отрицательная, другая положительная (a < 0, b > 0)
  • В этом случае |a - b| = |(-a) - b| = |-a - b| = -a - b, что численно равно сумме расстояний от каждой точки до нуля, и, следовательно, является расстоянием между точками.

В каждом из рассмотренных случаев, расстояние между точками A(a) и B(b) на координатной прямой равно |a - b|.