Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Пусть AB и CD — равные хорды окружности. Обозначим расстояние от центра окружности O до хорд AB и CD как d1 и d2 соответственно. Проведём перпендикуляры OM и ON из центра окружности O к хордам AB и CD соответственно. Эти перпендикуляры опустятся в середины хорд AB и CD, так как в окружности перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. По теореме Пифагора для треугольника OMA имеем: \( OM^2 + (AB/2)^2 = R^2 \). Аналогично для треугольника ONC имеем: \( ON^2 + (CD/2)^2 = R^2 \). Так как AB = CD, то и \( AB/2 = CD/2 \). Следовательно, \( OM^2 = ON^2 \), то есть \( OM = ON \). Таким образом, расстояния от центра окружности до хорд равны.