Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P, — прямоугольник, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.

По рисунку многогранник является кубом с ребром 1. Введём координаты: передняя нижняя левая вершина имеет координаты \((0,0,0)\), ось \(x\) направлена вдоль переднего нижнего ребра, ось \(y\) — в глубину куба, ось \(z\) — вертикально.

1. Так как точки являются серединами рёбер, их координаты можно записать так:

   \(P\left(\frac12,0,0\right)\), \(N\left(\frac12,0,1\right)\), \(M\left(1,\frac12,0\right)\).

2. Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид

   \[x-y=\frac12.\]

3. Эта плоскость пересекает куб ещё в точке \(Q\left(1,\frac12,1\right)\). Поэтому сечение представляет собой четырёхугольник \(PMQN\).

4. Векторы двух соседних сторон этого четырёхугольника:

   \[\overrightarrow{PM}=\left(\frac12,\frac12,0\right),\qquad \overrightarrow{PN}=(0,0,1).\]

   Их скалярное произведение равно нулю:

   \[\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=0.\]

   Следовательно, \(PM\perp PN\). Кроме того, \(PM\parallel NQ\), а \(PN\parallel MQ\). Значит, сечение \(PMQN\) — прямоугольник.

5. Найдём длины его сторон:

   \[PN=1,\]

   \[PM=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}.\]

6. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

   \[S=PN\cdot PM=1\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}.\]

Ответ: сечение — прямоугольник; его площадь равна \(\frac{\sqrt2}{2}\).