Докажите, что середины сторон произвольного четырёхуголь- ника являются вершинами параллелограмма (теорема Варинь-

Доказательство:

1. Шаг 1: Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Пусть E, F, G и H - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

2. Шаг 2: Соединим точки E и H, а также точки F и G. Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок EH является средней линией этого треугольника, так как точки E и H - середины сторон AB и AD соответственно.

   Следовательно, EH || BD и EH = 1/2 BD.

3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок FG является средней линией этого треугольника, так как точки F и G - середины сторон BC и CD соответственно.

   Следовательно, FG || BD и FG = 1/2 BD.

4. Шаг 4: Из шагов 2 и 3 следует, что EH || FG и EH = FG, так как оба отрезка параллельны и равны половине диагонали BD.

5. Шаг 5: Аналогично, рассмотрим треугольник ABC. Отрезок EF является средней линией этого треугольника, так как точки E и F - середины сторон AB и BC соответственно.

   Следовательно, EF || AC и EF = 1/2 AC.

6. Шаг 6: Рассмотрим треугольник ADC. Отрезок HG является средней линией этого треугольника, так как точки H и G - середины сторон AD и CD соответственно.

   Следовательно, HG || AC и HG = 1/2 AC.

7. Шаг 7: Из шагов 5 и 6 следует, что EF || HG и EF = HG, так как оба отрезка параллельны и равны половине диагонали AC.

8. Шаг 8: Поскольку противоположные стороны четырехугольника EFGH попарно параллельны (EH || FG и EF || HG) и равны, то четырехугольник EFGH является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.