Докажите, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.

1. Шаг 1: Запишем неравенство, которое нужно доказать:

\[\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}\]

2. Шаг 2: Возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе части неотрицательные, знак неравенства не изменится):

\[ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]

3. Шаг 3: Раскроем скобки в правой части:

\[ab \le \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\]

4. Шаг 4: Умножим обе части неравенства на 4:

\[4ab \le a^2 + 2ab + b^2\]

5. Шаг 5: Перенесем все члены в правую часть неравенства:

\[0 \le a^2 - 2ab + b^2\]

6. Шаг 6: Заметим, что правая часть является полным квадратом:

\[0 \le (a-b)^2\]

7. Шаг 7: Квадрат любого числа всегда неотрицателен, следовательно, неравенство верно.

Таким образом, мы доказали, что среднее геометрическое двух отрезков не превосходит их среднего арифметического.