Докажите, что стороны равностороннего треугольника касаются окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиусами, равными любой из его биссектрис.

1. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются также медианами и высотами. Центр окружности, вписанной в треугольник (инцентр), совпадает с центром окружности, описанной около треугольника (центроид), и находится на пересечении биссектрис.

2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна 'a'. Длина биссектрисы (и высоты) равна (a√3)/2.

3. Окружности с центрами в вершинах и радиусом, равным биссектрисе, будут касаться сторон треугольника, так как расстояние от вершины до точки касания на стороне будет равно радиусу, что соответствует длине биссектрисы.

Доказано.