313 Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежа- щей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Пусть дан треугольник (ABC), и точка (P) лежит внутри этого треугольника. Нам нужно доказать, что (PA + PB + PC < AB + BC + CA).

Продлим отрезок (AP) до пересечения со стороной (BC) в точке (D). Тогда получим, что (AP + PD < AB + BD) (неравенство треугольника для треугольника (ABD)).

Аналогично, (PC < PD + DC) (неравенство треугольника для треугольника (PDC)).

Сложив эти два неравенства, получим: (AP + PC < AB + BD + DC), что эквивалентно (AP + PC < AB + BC).

Аналогично можно доказать, что (BP + AP < BC + AC) и (CP + BP < CA + AB).

Сложив все три неравенства, получим: (2(AP + BP + CP) < 2(AB + BC + CA)).

Разделив обе части на 2, получаем: (AP + BP + CP < AB + BC + CA), что и требовалось доказать.