9. Докажите, что сумма: а) четырех последовательных натуральных чисе делении на 4 дает остаток 2; б) трех нечетных последовательных натуральн л при делении на 6 дает остаток 3.

а) Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 дает остаток 2

Пусть первое число равно n, тогда следующие три числа будут n+1, n+2 и n+3.

Их сумма равна:

\[S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6\]

Теперь разделим S на 4:

\[\frac{4n + 6}{4} = \frac{4n}{4} + \frac{6}{4} = n + 1 + \frac{2}{4}\]

Остаток от деления равен 2.

Вывод: Сумма четырех последовательных натуральных чисел при делении на 4 всегда дает остаток 2.

б) Сумма трех нечетных последовательных натуральных чисел при делении на 6 дает остаток 3

Пусть первое нечетное число равно 2n+1, тогда следующие два нечетных числа будут 2n+3 и 2n+5.

Их сумма равна:

\[S = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n + 9\]

Теперь разделим S на 6:

\[\frac{6n + 9}{6} = \frac{6n}{6} + \frac{9}{6} = n + 1 + \frac{3}{6}\]

Остаток от деления равен 3.

Вывод: Сумма трех нечетных последовательных натуральных чисел при делении на 6 всегда дает остаток 3.

Ответ: Доказано.