Докажите, что точка C является серединой отрезка AB, если OC ⟂ AB, где O — центр окружности.

Дано: окружность с центром \(O\); точки \(A\) и \(B\) принадлежат окружности; \(AB\) — хорда; \(OC\perp AB\).

Доказать: точка \(C\) — середина отрезка \(AB\).

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle OCA\) и \(\triangle OCB\). Они имеют общий катет \(OC\). Кроме того, \(OA=OB\), так как это радиусы одной окружности. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету:

\[\triangle OCA=\triangle OCB.\]

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов:

\[AC=CB.\]

Так как точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\) и делит его на два равных отрезка, то \(C\) является серединой отрезка \(AB\).

Ответ: \(AC=CB\), поэтому точка \(C\) — середина отрезка \(AB\).