Докажите, что точки M₁(0; 1), M₂(1/2; √3/2), M₃(√2/2; √2/2), M₄(−√3/2; 1/2), A(1; 0), B(−1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов AOM₁, AOM₂, AOM₃, AOM₄, AOB.

Проверим расстояние от начала координат O до каждой точки:

\[OM_1=\sqrt{0^2+1^2}=1.\]

\[OM_2=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac34}=1.\]

\[OM_3=\sqrt{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac12+\frac12}=1.\]

\[OM_4=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac34+\frac14}=1.\]

Также \(OA=1\) и \(OB=1\). Все точки имеют ординаты, не меньшие нуля, поэтому они лежат на единичной полуокружности с центром в точке O.

Для точки на единичной окружности её координаты равны \((\cos\alpha;\sin\alpha)\), где \(\alpha\) — соответствующий угол.

Ответ: \(\angle AOM_1\): \(\sin=1,\ \cos=0,\ \tan\) не существует; \(\angle AOM_2\): \(\sin=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos=\frac12,\ \tan=\sqrt3\); \(\angle AOM_3\): \(\sin=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos=\frac{\sqrt2}{2},\ \tan=1\); \(\angle AOM_4\): \(\sin=\frac12,\ \cos=-\frac{\sqrt3}{2},\ \tan=-\frac{\sqrt3}{3}\); \(\angle AOB\): \(\sin=0,\ \cos=-1,\ \tan=0\).