Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) A (0; 1), B (1; −4), C (5; 2); б) A (−4; 1), B (−2; 4), C (0; 1).

а)

Найдём квадраты длин сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB^2=(1-0)^2+(-4-1)^2=1+25=26\).

\(AC^2=(5-0)^2+(2-1)^2=25+1=26\).

Следовательно, \(AB=AC\), поэтому треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(BC\).

Площадь найдём по координатам векторов \(\overrightarrow{AB}=(1;-5)\) и \(\overrightarrow{AC}=(5;1)\):

\(S_{ABC}=\frac12\left|1\cdot1-(-5)\cdot5\right|=\frac{26}{2}=13\).

б)

\(AB^2=(-2+4)^2+(4-1)^2=2^2+3^2=13\).

\(BC^2=(0+2)^2+(1-4)^2=2^2+(-3)^2=13\).

Следовательно, \(AB=BC\), поэтому треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\).

Площадь найдём по координатам векторов \(\overrightarrow{AB}=(2;3)\) и \(\overrightarrow{AC}=(4;0)\):

\(S_{ABC}=\frac12\left|2\cdot0-3\cdot4\right|=\frac{12}{2}=6\).

Ответ: а) треугольник равнобедренный, \(AB=AC\), площадь 13; б) треугольник равнобедренный, \(AB=BC\), площадь 6.