947 Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: a) A (0; 1), B (1; −4), C (5; 2); б) А (-4; 1), B(-2; 4), C (0; 1).

a) Докажем, что треугольник ABC равнобедренный, и найдем его площадь. Даны координаты вершин: A (0; 1), B (1; -4), C (5; 2).

Найдем длины сторон треугольника:

• $$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$
• $$BC = \sqrt{(5-1)^2 + (2-(-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$
• $$AC = \sqrt{(5-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$

Так как AB = AC = $$ \sqrt{26}$$, треугольник ABC равнобедренный.

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона. Сначала найдем полупериметр:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{\sqrt{26} + 2\sqrt{13} + \sqrt{26}}{2} = \sqrt{26} + \sqrt{13}$$

Площадь треугольника:

$$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{(\sqrt{26} + \sqrt{13})(\sqrt{13})(\sqrt{26} - \sqrt{13})(\sqrt{13})} = \sqrt{(\sqrt{26}^2 - \sqrt{13}^2) \cdot 13} = \sqrt{(26-13) \cdot 13} = \sqrt{13 \cdot 13} = 13$$

Ответ: треугольник ABC равнобедренный, его площадь равна 13.

б) Докажем, что треугольник ABC равнобедренный, и найдем его площадь. Даны координаты вершин: A (-4; 1), B (-2; 4), C (0; 1).

Найдем длины сторон треугольника:

• $$AB = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$
• $$BC = \sqrt{(0-(-2))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$
• $$AC = \sqrt{(0-(-4))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$$

Так как AB = BC = $$\sqrt{13}$$, треугольник ABC равнобедренный.

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона. Сначала найдем полупериметр:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4}{2} = \sqrt{13} + 2$$

Площадь треугольника:

$$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{(\sqrt{13} + 2)(2)(\sqrt{13} - 2)(2)} = \sqrt{4(\sqrt{13}^2 - 2^2)} = \sqrt{4(13-4)} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$$

Ответ: треугольник ABC равнобедренный, его площадь равна 6.