(1 Докажите, что треугольник АВС является равнобедренным, если A (0; 1), B (1; -4), C (5; 2) ② Найдите координаты и длину вектора а, если а = 2x – 3ỷ и х (3; −4), ў (-1; -2) ③ Точки К и Р лежат на сторонах AD и ВС соответственно параллелограмма ABCD, причем АК = KD, BP: PC =7:2. а) Выразите вектор КР через векторы т = АВ и п = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении х выполняться равенство КР = х CD?

Решение задания №1

Привет! Давай докажем, что треугольник ABC является равнобедренным, если A (0; 1), B (1; -4), C (5; 2). Для этого нам нужно найти длины сторон AB, BC и AC и сравнить их.

1. Найдем длину стороны AB:

\[AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}\]

2. Найдем длину стороны BC:

\[BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

3. Найдем длину стороны AC:

\[AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\]

Так как AB = AC = √26, треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный.

---

Решение задания №2

Найдем координаты и длину вектора \(\vec{a}\), если \(\vec{a} = 2\vec{x} - 3\vec{y}\) и \(\vec{x}(3; -4)\), \(\vec{y}(-1; -2)\).

1. Найдем координаты вектора \(2\vec{x}\):

\[2\vec{x} = 2(3; -4) = (6; -8)\]

2. Найдем координаты вектора \(3\vec{y}\):

\[3\vec{y} = 3(-1; -2) = (-3; -6)\]

3. Найдем координаты вектора \(\vec{a}\):

\[\vec{a} = 2\vec{x} - 3\vec{y} = (6; -8) - (-3; -6) = (6 + 3; -8 + 6) = (9; -2)\]

4. Найдем длину вектора \(\vec{a}\):

\[|\vec{a}| = \sqrt{9^2 + (-2)^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}\]

Ответ: Координаты вектора \(\vec{a}(9; -2)\), длина вектора \(|\vec{a}| = \sqrt{85}\).

---

Решение задания №3

Точки K и P лежат на сторонах AD и BC соответственно параллелограмма ABCD, причем AK = KD, BP : PC = 7 : 2.

а) Выразите вектор \(\vec{KP}\) через векторы \(\vec{m} = \vec{AB}\) и \(\vec{n} = \vec{AD}\).

Пусть \(\vec{AB} = \vec{m}\) и \(\vec{AD} = \vec{n}\). Так как AK = KD, то \(\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{n}\). Так как BP : PC = 7 : 2, то \(\vec{BP} = \frac{7}{9}\vec{BC} = \frac{7}{9}\vec{AD} = \frac{7}{9}\vec{n}\).

Теперь выразим \(\vec{KP}\) через известные векторы:

\[\vec{KP} = \vec{KB} + \vec{BP}\]

Выразим \(\vec{KB}\) через известные векторы:

\[\vec{KB} = \vec{AB} - \vec{AK} = \vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}\]

Тогда:

\[\vec{KP} = \vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n} + \frac{7}{9}\vec{n} = \vec{m} + (\frac{7}{9} - \frac{1}{2})\vec{n} = \vec{m} + (\frac{14 - 9}{18})\vec{n} = \vec{m} + \frac{5}{18}\vec{n}\]

б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство \(\vec{KP} = x \cdot \vec{CD}\)?

Так как \(\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{m}\), равенство примет вид:

\[\vec{KP} = -x\vec{m}\]

Подставим выражение для \(\vec{KP}\) из пункта (а):

\[\vec{m} + \frac{5}{18}\vec{n} = -x\vec{m}\]

Перенесем все в одну сторону:

\[(1 + x)\vec{m} + \frac{5}{18}\vec{n} = 0\]

Для параллелограмма векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) не коллинеарны, поэтому равенство нулю возможно только если оба коэффициента равны нулю:

\[1 + x = 0 \Rightarrow x = -1\]

\[\frac{5}{18} = 0\]

Второе равенство не выполняется, следовательно, не существует такого x, чтобы выполнялось равенство \(\vec{KP} = x \cdot \vec{CD}\).

Ответ: а) \(\vec{KP} = \vec{m} + \frac{5}{18}\vec{n}\); б) не может.

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!