157. Докажите, что треугольники АВС и А,В,С, изобра- жённые на рисунке 111, подобны (длины отрезков да- ны в сантиметрах).

Для доказательства подобия треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ необходимо показать, что их соответствующие стороны пропорциональны. В данном случае необходимо обратиться к рисунку 111, чтобы знать длины сторон. Допустим, известны следующие длины сторон:

• $$AB = a$$, $$BC = b$$, $$CA = c$$
• $$A_1B_1 = a_1$$, $$B_1C_1 = b_1$$, $$C_1A_1 = c_1$$

Тогда, чтобы доказать подобие, нужно показать, что

$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} $$

или

$$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $$

Если эти отношения равны, то треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны по третьему признаку подобия треугольников (по пропорциональности трёх сторон).

Для примера, предположим, что на рисунке указаны следующие значения:

• $$AB = 4 \, \text{см}$$, $$BC = 6 \, \text{см}$$, $$CA = 8 \, \text{см}$$
• $$A_1B_1 = 2 \, \text{см}$$, $$B_1C_1 = 3 \, \text{см}$$, $$C_1A_1 = 4 \, \text{см}$$

Тогда

$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{6}{3} = 2 $$ $$ \frac{CA}{C_1A_1} = \frac{8}{4} = 2 $$

Так как все отношения равны 2, треугольники подобны.

Если на рисунке другие значения, то необходимо провести аналогичные вычисления.

Ответ: Необходимо проверить пропорциональность соответствующих сторон треугольников, используя данные длин сторон на рисунке 111.