Докажите, что: 1) центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра; 2) центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.

Доказательство:

1. Рассмотрим куб. Соединим центры его граней. Получим октаэдр. Все ребра этого октаэдра равны, а грани - правильные треугольники. Значит, полученный октаэдр - правильный. Следовательно, центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.


2. Рассмотрим правильный октаэдр. Опишем вокруг него куб так, чтобы вершины октаэдра лежали на гранях куба. Центры граней этого куба будут являться вершинами октаэдра. Следовательно, центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.