20. Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1: 1) ме- дианы, проведённые из вершин А и А₁, равны; 2) биссектри- сы, проведённые из вершин А и А₁, равны.

Для доказательства равенства медиан и биссектрис равных треугольников ABC и A₁B₁C₁ рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Равенство медиан

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Пусть AM и A₁M₁ — медианы треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно.

Так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, то AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и угол BAC равен углу B₁A₁C₁.

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. AM и A₁M₁ - медианы, следовательно BM = 1/2 BC и B₁M₁ = 1/2 B₁C₁. Так как BC = B₁C₁ (по равенству треугольников ABC и A₁B₁C₁), то BM = B₁M₁.

Таким образом, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по двум сторонам (AB = A₁B₁, BM = B₁M₁) и углу между ними (угол ABC = углу A₁B₁C₁). Из равенства треугольников ABM и A₁B₁M₁ следует, что AM = A₁M₁.

Следовательно, медианы, проведённые из вершин A и A₁, равны.

2. Равенство биссектрис

Биссектриса — это отрезок, проведённый из вершины угла и делящий этот угол пополам. Пусть AL и A₁L₁ — биссектрисы треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответственно.

Так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, то AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и угол BAC равен углу B₁A₁C₁.

Поскольку AL и A₁L₁ — биссектрисы, то угол BAL равен половине угла BAC, а угол B₁A₁L₁ равен половине угла B₁A₁C₁. Следовательно, угол BAL равен углу B₁A₁L₁.

Рассмотрим треугольники ABL и A₁B₁L₁. У них AB = A₁B₁, угол BAL равен углу B₁A₁L₁, и угол ABC равен углу A₁B₁C₁ (по равенству треугольников ABC и A₁B₁C₁).

Тогда треугольники ABL и A₁B₁L₁ равны по стороне (AB = A₁B₁) и двум прилежащим к ней углам (угол BAL равен углу B₁A₁L₁, угол ABC равен углу A₁B₁C₁). Из равенства треугольников ABL и A₁B₁L₁ следует, что AL = A₁L₁.

Следовательно, биссектрисы, проведённые из вершин A и A₁, равны.

Ответ: Доказано, что медианы и биссектрисы, проведённые из соответствующих вершин равных треугольников, равны.