Докажите, что уравнение (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 25 не имеет целых корней.

\[(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 25\]

\[Пусть\ уравнение\ имеет\ целый\ корень\ х,\ \]

\[тогда\ числа\ x\ + \ 1,\ x\ + \ 2,\ x\ + \ 3\ –\ целые\ \]

\[и\ последовательные.\ \]

\[Среди\ трех\ последовательных\ целых\ \]

\[чисел\ обязательно\ одно\ делится\ на\ 2\ и\ \]

\[одно\ –\ на\ 3\ (например,\ числа\ 13,\ 14,\ 15),\ \]

\[поэтому\ произведение\ таких\ чисел\ без\ \]

\[остатка\ делится\ на\ 2\ \cdot \ 3\ = \ 6.\ \]

\[Следовательно,\ левая\ часть\ уравнения\ \]

\[кратна\ 6.\ \]

\[В\ правой\ части\ уравнения\ стоит\ число\ 25,\ \]

\[которое\ делится\ на\ 6\ с\ остатком\ 1.\]

\[\ Получаем\ противоречие.\ \]

\[Поэтому\ данное\ уравнение\ не\ может\ \]

\[иметь\ целых\ корней.\]