Докажите, что в равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, высота равна полусумме оснований. Доказательство. 1. Через точку O проведите высоту трапеции MN. 2. Докажите, что ΔBOC — равнобедренный прямоугольный. 3. Докажите, что ΔAOD — равнобедренный прямоугольный. 4. OM — медиана в треугольнике BOC, OM = ________. 5. ON — медиана в треугольнике AOD, ON = ________.

1. Через точку O проводим перпендикуляр к основаниям AD и BC. Он пересекает основания в точках N и M. Отрезок MN — высота трапеции.

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны: AC = BD. Точка O лежит на оси симметрии трапеции, поэтому OB = OC. Следовательно, треугольник BOC равнобедренный.

Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то ∠BOC = 90°. Значит, треугольник BOC — равнобедренный прямоугольный.

3. По осевой симметрии равнобедренной трапеции OA = OD. Следовательно, треугольник AOD равнобедренный.

Диагонали перпендикулярны, поэтому ∠AOD = 90°. Значит, треугольник AOD — равнобедренный прямоугольный.

4. В равнобедренном треугольнике BOC медиана, проведённая к основанию BC, является также высотой. Поэтому BM = MC, а точка M — середина основания BC.

Следовательно, OM = BC/2.

5. В равнобедренном треугольнике AOD медиана, проведённая к основанию AD, также является высотой. Поэтому AN = ND, а точка N — середина основания AD.

Следовательно, ON = AD/2.

Так как точка O лежит между основаниями, MN = MO + ON. Поэтому

\[MN=\frac{BC}{2}+\frac{AD}{2}=\frac{BC+AD}{2}.\]

Ответ: высота трапеции равна полусумме оснований: \(MN=\frac{AD+BC}{2}\).